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TVD法のうち、流束制限関数に関して、ソースを晒したいが、まとまってないので、躊躇してます。

そのうちに。QUICK法とかLaxWendroff法とか、今日ではあまり使わないかもしれませんが、非常に勉強になります。

スキームはこだわりを持って使いたいものですね。
「解ければ何でも良いじゃん！」
はちょっと、バカすぎます。
その場合、1次精度のみでロバスト性を求めるだけで良くて、ぼーっと格子点が増やせるハードが出てくるのを待っているだけです。

CIP法（CSL系）が一番好きですが、既存のコードに対して、フラクショナルステップを使って、移流項のみ改善したい場合は、既存のオイラリアンのスキームの方が良いみたいですね。

ゼロから書くなら、CIP法＋その他の項があれば完全陰解法にします。
ロバストかつ高精度。